1. Bölüm
Zeki Coşkunsu
Editör: Simge Armutçu
Aşağıdaki çalışmamız; kombinatorikteki [matematiğin öncelikle hem bir araç hem de sonuç elde etmede, bir amaç olarak ve sonlu yapıların belirli özellikleriyle ilgili bir matematik alanı. Matematiğin diğer birçok alanıyla yakından ilgilidir ve mantıktan istatistiksel fiziğe, evrimsel biyolojiden bilgisayar bilimine vb.] çalışmaları ile tanınan ünlü İsrailli matematikçi Doron Zeilberger’ın (1950-…) “Matematik Nedir ve Ne Olmalıdır?”(1) başlıklı makalesinin bir özeti eşliğinde, ünlü Avusturyalı-Amerikalı mantıkçı, matematikçi ve matematik felsefecisi, otantik ilim insanı Kurt Gödel’in (1906-1978) “Enkomplelik (natamamlık-eksiklik) İlkesi/Teoremi”ne çok kısa bir değiniden ibarettir.
1) Matematik bir “insan etkinliği ve kültürü”dür.
2) Umarım matematik “gerçek bir bilim” hâline gelir.
3) Bir zamanlar, çok uzun zaman önce, matematik gerçekten de bir bilimdi, ancak günümüz matematiği bir bilim değildir. Diğer bir söylemle, bugün matematik birçok şeydir ama olmadığı tek şey bilimdir. Bununla birlikte, matematik bilimde çok etkilidir; etkisi bilim için bir araç olmasında saklıdır.
Soru: Peki, bugün uygulandığı şekliyle matematik nedir?
Yanıt: (Matematik üzerine Doron Zeilberger’ın yaptığı tanımlar şunlardır:)
a) “Matematik doktrinleri ve dogmalarıyla bir din”dir. Günümüz matematiği bir din olup temel dogması her şeyi titizlikle kanıtlamanız gerektiğidir.
b) “Matematik genellikle keyfi kuralları olan bir oyun”dur. Diğer bir söylemle, bugünün matematiği yapay bir oyundur.
c) “Matematik ‘Chess and Go’ya benzer; entelektüel, atletik, rekabetçi bir spordur.” Bugünün matematiği rekabetçi bir spordur. Örneğin sayı teorisi açıkça doğru olan varsayımlarla doludur ancak insanlar bunu kanıtlayamazlar.
d) “Matematik katı kurallara sahip bir sanat formu”dur. Diğer bir söylemle, bugünün matematiği bir sanat biçimidir.
5) Kurt Gödel’in (1906-1978) “Enkomplelik İlkesi/Teoremi”ne göre, karar verilemeyen ifadeler vardır ya da diğer bir söylemle, sonsuz kümeler üzerinden nicelleştirmeyi içeren her ifadenin ‘a priori (önsel-deneyden önce-deneyimden bağımsız)’ anlamsız olduğudur.
“Her doğal sayı için n + 1 = 1 + n, n’yi bir sembol olarak düşünerek posteriori (sonradan-deneyden sonra-deneysel kanıta dayalı) anlamlıdır.” Gelgelelim, Gödel’in kanıtladığı şey, ifadelerin böyle yeniden doğrulanamayabilir/diriltilemeyebilir olduğudur.
(*) [Gödel’in Enkomplelik İlkesi/Teoremi: 1930’da yapılan Könisberg Kongresi, tarihi önemde bir gelişmeye sahne olmuştu. Gödel, birinci dereceden mantığın mükemmelliği ve aritmetiğin eksikliğine ilişkin kanıtını ilk olarak Könisberg’deki bu kongrede duyurmuştu. Gödel’in 1931’de ortaya koyduğu bu kuram gerçekten şok yaratan bir teoremdir. Gödel’in ispat ettiği şey, hangi cins bir formal sistemle başlarsa başlayalım, bu orijinal sistem içinde ne doğru ne de yanlış olduğu beyanların (meselâ aritmetik beyanlar) daima mevcut olduğu hususudur. Ayrıntılı açıklama aşağıdadır.]
6) “Matematik ab initio (from the beginning: başlangıçtan beri), şimdiye kadar yapılan bir insan yapımıdır.” Geliniz, matematiği yeniden bilim yapalım. Matematik bir bilim hâline gelmeli ve temel varoluşu matematiksel gerçeğin keşfi olmalıdır. Özellikle de aradaki dikotomiyi [iki bölümlü-çatallanma-ikilem (dichotomy)] terk etmek gerekir. Yani, sınanabilir varsayım (hipotez) ve kanıtlanabilen bilimsel önerme-kuram (teorem) dikotomisini.
7) Son sözler: “Beni yanlış anlamayınız; siz bana, kendinden nefret eden matematikçi diyebilirsiniz, zira ben zarif ispatları seviyorum. Sizler geleneksel standartların keyfini çıkarınız. Reuben Hersh’in harika kitabı gibi, ben de “Sevgi ve Nefret (geleneksel) matematiği”, diyorum. Ama buna, yani matematiği gerçek bilim kılma zamanının geldiğine de inanıyorum.” Doron Zeilberger, bu sözleriyle makalesini noktalar.
Tüm bunlarla birlikte son tahlilde ben de derim ki; “matematik bilimde çok etkili”dir; etkisi “bilim için bir araç” olmasında saklıdır da. Matematik bilimin bel kemiği, aletidir. Otantik ilmi düşünce de eleştirel düşünce olduğundan matematik bilmeyen eleştirel düşünemez. Matematik-Lojik (Mantık) metotları olmaksızın S.F.İ. (Otantik Sanat & Felsefe & İlim) sağlıklı bir sonuca ulaşamaz.
Şimdi de gelelim makalemizin ikinci bölümüne: 1931’de Kurt Gödel, aritmetiği içeren bir formal sistemde, örneğin “F” diyelim;
1- “F’in doğru, fakat ispat edilemeyen bir beyanının olduğu”nu,
2- “F’in konsistan (tutarlı, birbirini tutan, istikrarlı) olduğu ispat edilecek ise, F’den daha kuvvetli olan bir formal sisteme ihtiyaç duyulacağı”nı ispat etmiştir.
Enkomplelik Teoremi –en basit şekliyle ve kabaca– “belirli şartlarda, herhangi bir lisanda, doğru fakat ispat edilemeyen beyanlar mevcuttur” şeklinde ifade edilebilir.
Ancak, Matematik-Lojik Yapısı’nda dikkate değer iki temel konpozan vardır. Bunlar:
1- Konsistan(Tutarlı, Birbirini Tutan, İstikrârlı)lık: Bir aksiyom sistemi her şart altında, çelişkilerden uzak olmalı, yani konsistan olmalıdır. Bunun manası şudur: Aksiyomlar, lojik enferans (netice istidlali, çıkarsama; yargıya varmak) ile bir “A” beyanını verirken aynı zamanda diğer bazı aksiyomlarda “A’nın olumsuzu”nun elde edilmesine kesinlikle imkân verilmemelidir. Başka bir deyişle, aksiyom sistemi kesinlikle A ve ¬ A (a’nın olumsuzu)’nun her ikisini vermemelidir. Konsistan olma, bu hususun garantisidir.
2- Komple(Komple Oluş; Tam Olma, Eksik Olmama)lik: Bu ikinci konpozan ise sadece ve sadece A ve ¬ A’dan bir tanesinin elde edilebileceğini garanti eder.
Şimdi de her iki konpozanı biraz daha derinlemesine açımlayalım.
1. Konpozan-Konsistanlık: Yalnızca doğru beyanların, yani T’deki kelimelerin ispat edilebilir olmasını istemek doğaldır. O hâlde bir <P, P’, > dedüktif sistemine şayet P
ise, <L,T> temel çiftine göre (veya temel çifti için) konsistandır, denecektir. Şayet bir lisana sahipsek her doğru beyanın ispat edilebilir olduğu konsistan bir dedüktif sistem bulmak elbette çok arzu edilir. İnceleyeceğimiz Gödel Teoremi, belirli şartlar altında, temel çifte göre böyle dedüktif bir sistem bulmanın imkansız olduğunu ifade eder.(2)
2. Konpozan-Komplelik: <P, P’, > dedüktif sistemi, şayet
( P’)
ise <L,T> temel çiftine göre konpledir, denecektir (yani bütün doğru kapalı formüller ispat edilebilir ise).”(3)
O hâlde, Gödel’in Enkomplelik Teoremi’ne göre, belirli şartlar altında <L,T> temel çifti göz önüne alındığında hem konsistan hem konple olan bir dedüktif sistem mevcut değildir.
Soru: Peki, EnkomplelikTeoremi’nin sentaktik ve semantik formülasyonu bize neyi gösteriyor?
Yanıt:
- Aritmetik lisan için, sektaktik olarak konsistan ve sentantik olarak komple dedüktif bir sistem mevcut değildir.
- Açık-seçik ve dikkatlice herhangi bir ispat kavramı verildiğinde, aritmetik lisanda ya ispat edilebilir fakat yanlış (F) bir beyan ya da doğru (T) fakat ispat edilemeyen bir beyan mevcuttur. 4
Sistemde bazı problemler çıkabilir. Örneğin kimi aksiyomlarımız, formülasyon kaidelerini kullandığımız sürece, o beyan elde edilebilir. Ama diğer bazı aksiyomlarla, öyle beyanlara da tanık olunmaktadır ki o beyanın negasyonu (olumsuzu/değili) ortaya çıkabilmektedir. Yani hem “A”yı hem de “A’nın negasyonu(¬ a)nu elde edebiliyoruz. İşte böylesi bir sistem ilmen kullanılamaz/geçersizdir. Çünkü bünyesinde hem “evet” hem de “hayır”ı barındıran bir beyan konsistan (tutarlı-çelişiksiz) değildir, yani enkonsistan(tutarsız-çelişik)dır. Zaten enkonsistan olan beyanlar sistem için kullanılamazlar. Bir diğer ifadeyle, böylesi bir sistemi kullanmamız da mümkün değildir.
İlmî literatür açısından, seçilen bir sistem hakkında; (a) konsistanmı, yoksa (b) enkonsistan mı olduğunun kontrolü, bir ilmî sine qua non (olmazsa olmaz ilmî bir gereklilik-zorunluluk)dur. Matematik-lojik sürekli olarak konsistan yapıyı tercih eder. Zira matematik-lojik; (a) konsistanlık (tutarlılık-çelişiksizlik) (b) komplelik (tamlık-eksiksizlik) gibi iki kardinal konpozandan oluşur.
3) Tüm bunlardan çıkan sonuç şudur: Lokal bir yapıya bakılarak bir sistemin evrenselliğinin konsistanlığından söz edilemez.
4) Öte yandan, “doğru mu yanlış mı” kanıtlamasını yapamadığımız yapılar da vardır. Bu da enkomplelik ile alakalı bir husustur. Zira sistemin içinde öyle teoriler var ki ne doğru ne de yanlış olduğu kanıtlanabilir. Yani, enkomplelik bir sistem konsistan olduğu halde doğruluğunun kanıtı yapılamayabilir. Aslında bu da geçerlilik limitleri ile alakalı bir husus.
İşte Gödel’in elde ettiği netice şu: O der ki: “Ne kadar geniş olursa olsun, komple ve konsistan-deüdktif herhangi bir sistem yoktur.” Oysa David Hilbert (1862-1943) vb. matematikçiler böyle bir sistemin var olduğuna inanıyorlardı. Ancak Gödel’in bu açıklamaları ortalığı, iyiden iyiye karıştırdı (ispat imkânsızlığının ispatı). Gödel, yeni sembolleri sayıya dahil edecek bir yöntemle sayıları sisteme aktarıp bunlardan yola çıkarak bu konsistan ve komple sistem içinde öyle beyanlar buldu ki bunların doğruluğu aşikardı. Ama kanıtlaması yapılamayan beyanlardı bunlar.
Soru: Neden insan aklı –konsistan ve komplelik göz önüne alındığında– evrensel olarak bir yapı ortaya koyamıyor? Dolayısıyla da insan aklı son derece kısıtlı mıdır? Ya da bazı mistik güçlerin(!) bunda rolü mü var?
Yanıt: Elbette hayır! Bunda ne mistik güçlerin rolü söz konusudur ne de insan aklı kısıtlıdır. Bilakis insan aklı insan-soyu referans sistemi içinde sonsuz-sınırsız bir kapasiteye sahiptir. Aklın tavanı sonsuz ve sınırsızdır. İş sadece zaman almakta; o da geleceğe/gelecek insanlığa kalmış bir husustur.
Soru: Peki, matematik tam(komple) mıdır?
Yanıt: Gödel’e göre, hayır!
1900’lerin başında ünlü Britanyalı filozof, matematikçi, tarihçi, toplumsal eleştirmen, ilim insanı Bertrand Arthur William Russell (1872-1970) ve mantıksal pozitivizm olarak bilinen felsefi akımın ve Viyana Çevresi olarak adlandırılan filozoflar grubunun içinde yer alan önemli isimlerden biri olan ünlü İngiliz matematikçi ve filozof, ilim insanı Alfred North Whitehead (1861-1947) ortak çalışmaları olan Matematiğin İlkeleri kitabında, matematiğin salt mantıktan geldiğini ortaya koymaya çalıştılar. Ancak görüşleri ilim dünyasında çokça sorgulandı. Matematikçi Gödel’in devrim yaratan bir düşünceyle, bu yaklaşımı çürütmesi uzun sürmedi. Aslında onun da amacı mantıksal bir temel oluşturmaktı, karşısına çıkan sonuç ise kendisini de şaşırttı. Ulaştığı sonuç şuydu: Matematiğin mantıksal sistemlerinde doğru olsa bile kanıtlanması imkânsız olan ifadelerin olması. Eksiklik Teoremi adını verdiği bu yaklaşıma göre, matematik ve mantık gibi sistemlerin asla tam olamayacağını gözler önüne serdi.